Базовая математическая модель для долговременного прогнозирования динамики движения профессорско-преподавательского состава в российских вузах

И. В. Пенние, Е. А. Питухин, В. А. Гуртов

Петрозаводский государственный университет, г. Петрозаводск
ilia_pennie@karelia.rgs.ru; vgurt@psu.karelia.ru; pitukhin@onego.ru

Введение

Образовательная политика России на современном этапе исходит из необходимости повышения роли образования в развитии общества и государства. Эта роль определяется как задачами перехода России к демократическому обществу с рыночной экономикой, так и мировыми тенденциями развития. В современном мире образование стало одним из важнейших факторов и ресурсов экономического развития, формирования нового качества экономики. В связи с этим образование должно войти в состав основных приоритетов развития российского общества и государства на ближайшую перспективу.

Одной из образовательных проблем является проблема обновления кадрового состава профессионального образования. Процессы, которые проходили в российской системе образования за последние 10 лет, привели к тому, что возрастная структура профессорско-преподавательского состава (ППС) существенно изменилась. Например, изменилась в сторону постарения возрастная структура докторов наук и профессоров в высшей школе.

В связи с этим появляется необходимость в разработке и апробации методики долговременного прогнозирования потребностей в кадрах высшей квалификации для воспроизводства научно-педагогического потенциала высшей школы в субъектах Российской Федерации, а также проведении системного анализа и прогнозирования процессов формирования и развития кадрового потенциала высшей квалификации в вузах России.

Моделированием изменений возрастной структуры преподавательских кадров занимались в работе [1] с учетом финансирования и деления структуры по должностям, а не ученым степеням.

Для достижения данной цели предлагается разработать методику моделирования и прогнозировании движения ППС в высших учебных заведениях. В предыдущих работах авторов [2-5] были описаны отдельные элементы этой модели. Формализация и развитие модельных представлений по прогнозированию движения ППС приводятся ниже.

1. Математическая модель движения ППС

Выбор модели основывается на анализе имеющихся исходных данных, которые представлены в таблице 1. В качестве примера используются данные по Петрозаводскому государственному университету. Данные за каждый год приводятся по состоянию возрастной структуры ППС вуза на 1 января последующего года. Ежегодный интервал наблюдений задает временную прерывистость процесса.

Таблица 1

Возрастная структура ППС ПетрГУ за 1998 – 2002 годы, человек

Категория

Возрастная группа, лет

Годы

1998

1999

2000

2001

2002

1

<= 29

71

72

79

99

128

2

30; 39

146

138

134

122

118

3

40; 49

154

152

157

161

168

4

50; 59

146

137

127

122

130

5

>= 60

140

160

169

183

180

 

Возрастная структура делится на пять возрастных групп, или категорий. Основная задача состоит в том, чтобы достоверно спрогнозировать развитие категорий по годам от 2003 г. и далее до 2015 г. Для увеличения адекватности модели реальному процессу целесообразно учитывать в ней информацию о прошлых состояниях так, чтобы модель обладала динамическими свойствами.

Вследствие этого в качестве базовой предлагается выбрать математическую модель в виде системы конечно-разностных уравнений с дискретизацией по времени. Такое представление модели часто и эффективно применяется в теории управления. На первом этапе можно рассмотреть случай с постоянными коэффициентами. В дальнейшем предлагаемый вид модели позволит учесть нестационарность и стохастичность коэффициентов.

Общий вид записи такой модели представлен ниже:

                              , ,                             (1)

где  = – вектор состояния системы (собственное движение);

 = – вектор сгруппированного выходного сигнала;

 – вектор входных управляющих воздействий;

 – матрица пространства состояний;

 – матрица управления;

,  – матрицы выходов (=0);

 – порядковый индекс, обозначающий года; вектор  – начальные условия, которые соответствуют состоянию возрастных групп на 1998 год; момент времени  соответствует 1998 год,  – 2002 год, а  – 2015 году.

Для описания перехода лиц из одной возрастной группы в другую с учетом каждого года необходимо провести деталировку таблицы 1 так, чтобы декомпозировать возрастные группы по годам. Декомпозиция данных в категориях проводилась несколькими способами – аппроксимацией в MS Excel и в пакете MathCAD по методу наименьших квадратов полиномами до 6-й степени; линейными трендами и кубическими сплайнами по критерию максимума величины достоверности аппроксимации , минимума расхождения площади фигур и минимума квадрата функции невязки. При этом категория 1 расширялась от 20 до 29 лет, а категория 5 – от 60 до 89 лет.

Наиболее эффективно при этом показала себя сплайн-аппроксимация по критерию максимума величины достоверности аппроксимации  с граничными условиями равенства нулю первой производной на краях интервала [20,89] и сращиванием на границах возрастных групп. При этом проводится дополнительное распределение разницы сумм площадей между аппроксимированной и реальной кривой, чтобы свести интегральную невязку внутри возрастных групп к нулю. На рисунке 1 вы видите пример такого рода декомпозиции данных из таблицы 1 за 2002 г. по критерию максимума показателя .

 

Рис. 1 Пример декомпозиции возрастных групп ППС

Матрица  отвечает за переход из возраста  в возраст , где , тогда размерность . Элементы матрицы определяются как

              и .           (2)

Так, мы получаем все собственные числа матрицы пространства состояний равные 1, что говорит об устойчивости модели. Это делает коэффициент усиления передаточной функции собственного движения модели равным единице.

Учитывая первое уравнение системы (1), получаем ряд из =4 переходных векторов управления , которые моделируют суммарный поток лиц ППС, увольняемых и принимаемых на работу в момент :

                              =, .                                

Здесь мы рассматриваем матрицу управления и вектор воздействий не поодиночке, а их произведение, поскольку не располагаем статистикой о реальном притоке и оттоке кадров, а только о разнице между ними.

Матрица  – матрица выходов – собирает результат моделирования верхнего разностного уравнения системы (1) обратно в возрастные группы, получаемые через нижнее уравнение системы (1). Тогда матрицу *= можно задать как

         ,  иначе, ,

            ,  иначе, .           (3)

Основная проблема состоит в том, чтобы научиться достоверно моделировать эти расширенные аппроксимированные вектора прихода-ухода на период времени с 2003 до 2012 г. В случае ее решения станет возможным прогнозирование динамики движения ППС на этот период.

Рассматривается несколько подходов – моделирование векторов с помощью передаточных функций от года к году, построение модели в приложениях по идентификации систем управления, вычисление усредненного вектора перехода.

 

Рис. 2. Переходные вектора   и вектор МО (Среднее) для расширенных векторов (от 20 до 89 лет)

Наиболее приемлемый результат показывает моделирование векторов  с помощью комбинированного подхода: для большего совпадения при расчете движения на участке исходных данных (с 1998 по 2002 г.) целесообразно использовать исходные вектора перехода. Для прогноза с 2003 г. по 2015 г. применяется методика прогнозирования переходных векторов, основанная на изучении дискретного закона распределения случайных элементов исходных векторов. На рисунке 2 видна кривая математического ожидания (МО) для каждой четверки распределения ‑ элементов векторов, которая используется в качестве основы для прогноза переходных векторов с 2003 по 2015 г.

Закон распределения элементов векторов перехода моделируется с помощью метода Монте-Карло, что иллюстрируется на рисунке 3. Сначала задается дискретный закон распределения, далее при необходимости этот закон расширяется до целого.

 

 

Рис. 3. Розыгрыш случайного элемента вектора перехода  
методом Монте-Карло

 

В итоге получается модель, которая отражает динамику воздействия переходных векторов на движение ППС вуза, не выходя при этом за границы имеющихся воздействий и соблюдая закон распределения каждого элемента, что делает достоверным прогноз модели движения ППС вуза. Пример моделирования представлен на рисунке 4.

 

Рис. 4. Результаты моделирования движения ППС
различных возрастных групп

На рисунке 4 жирными линиями выделены исходные данные из таблицы 1, тонкими линиями показаны промоделированные тенденции роста или спада соответствующих возрастных групп ППС вуза с 1998 по 2015 г. Верификация модели показала высокую степень адекватности результатов моделирования реальным данным; так, максимальное относительное отклонение между данными и моделью среди всех возрастных групп c 1998 по 2002 г. не превышает 4%.

В качестве вывода можно отметить, что на протяжении последних 5 лет существует четкая тенденция прироста штата ППС вуза. Если предположить, что такая кадровая тенденция сохранится, то штат ППС ПетрГУ может вырасти с 791 человек в 2002 г. до 928 человек в 2012 г., т.е. на 17%.

2. Математическая модель движения ППС с детализацией по ученым степеням

Рассмотренная выше модель не дает возможности проанализировать процессы, протекающие внутри ППС. В то же время вузы располагают данными, наряду с таблицей 1, по контингенту докторов наук (ДН), кандидатов наук (КН) и не остепененных (НС) сотрудников. Процессы перетекания низших категорий ППС в высшие происходят внутри вузов согласно кадровой политике в вопросах стимулирования защит кандидатских и докторских диссертаций, открытия ученых советов по научным специальностям и т. д.

Такие процессы можно промоделировать независимо друг от друга, по аналогии с моделью ППС, но при этом мы не будем видеть взаимовлияния категорий ППС между собой и, следовательно, не сможем оценить их степень. Останется сокрытым и процесс «созревания» ученых в стенах родного вуза, а также поток ученых, приглашенных на работу или ушедших из вуза.

Концептуально разделим потоки ППС на три потока: докторов наук, кандидатов и не остепененных, согласно исходным табличным данным, поскольку общая таблица контингента ППС может быть условно представлена суммой трех других таблиц:

                                       ППС=НС+КН+ДН.                                       (4)

Выражение (4) представляет собой функциональное ограничение, и в силу избытка информации будем моделировать движение трех составных частей НС, КН и ДН. Общую информацию по ППС будем получать суммированием этих трех слагаемых.

Изменим модель (1) следующим образом:

Введем независимые переменные состояния в разрезе категорий ученых степеней:

                                ,

                                ,                                (5)

                                .

Объединим эти вектора состояний в один расширенный вектор :

                                          .                                         (6)

Запишем для этого вектора матрицу пространства состояний , которая будет иметь блочный вид:

                                    ,                                    (7)

где , которая определена в (2);

 – матрица перехода («матрица докторских защит»), которая переводит часть КН в ДН;

 – матрица перехода («матрица кандидатских защит»), которая переводит часть НС в КН.

Соответственно размерности и смыслу вектора  у нас изменятся размерность и смысл детализированного вектора перехода :

                                     .                                     (8)

Существенно модифицируется и матрица , поскольку выходов  у новой системы станет больше:

                                          ,                                         (9)

где  – выходной вектор возрастных групп ДН;

 – выходной вектор возрастных групп КН;

 – выходной вектор возрастных групп НС;

 – выходной вектор возрастных групп ППС;

 – общее число ППС.

В этом случае матрица  с учетом выражения (3) запишется как блочная матрица:

                      , где .                    (10)

 

Запишем новую систему уравнений, описывающую детализированную модель:

                        , ,                     (11)

Рассмотрим процесс определения структуры «матрицы докторских и кандидатских защит».

Согласно (11), единственным внешним воздействием на вектор  является слагаемое , в котором заложены переходы защитившихся из группы НС в КН и из группы КН в ДН. Чтобы отобрать эту составляющую из вектора внешних воздействий, вычленим из них внутреннюю составляющую. Для этого рассмотрим вспомогательную систему уравнений:

                     =+,

                     =+,                   (12)

                                  =.

Необходимо перевести поток внутреннего для вуза производства ДН  и КН  правой части (12) от внешних воздействий к переменным состояния.

Если мы теперь пожелаем освободиться от «внутренних» слагаемых и пересчитать вектор  как

                                 =,

                                 =,                               (13)

                                  =,

то для этого мы будем вынуждены знать величины добавок  и . Такие данные существуют по Петрозаводскому университету. Это не что иное, как «статистика кандидатских и докторских защит» в разрезе возрастной структуры, которая подводится каждый год.

Обозначим такую добавку, соответствующую возрасту , для ДН – , для КН. В общем случае, накопив данные по защитам с 1998 по 2002 г., можно построить закон распределения величин  и  методом Монте-Карло.

Введем коэффициент

 и  . (14)

Этот коэффициент будет характеризовать, сколько кандидатов наук возраста  в среднем будут переходить в доктора наук, то есть успешно защищаться.

Аналогично определим коэффициент

 и    (15)

характеризующий количество удачных защит кандидатских диссертаций.

Тогда с учетом (11‑15) можно написать систему выражений для ДН, КН и НС:

           ,         (16)

где =, .

            ,         (17)

где =, .

       , где      (18)

Данная система (16-18) задает динамику изменения кадрового состава вуза с учетом внутренних процессов повышения ученых степеней через защиты кандидатских и докторских диссертаций.

С учетом (16-18) запишем выражения для «матриц докторских защит» и «матриц кандидатских защит»:

         =:  и

                                .                              (19)

          =:  и

                                .                              (20)

Таким образом, учитывая корректную запись вектора внешних воздействий (13) и матриц докторских и кандидатских защит (19-20), модель (11) можно считать полностью формализованной.

На рисунке 5 приведены динамика изменения численного состава НС, КН, ДН по результатам моделирования на основе данных, полученных сплайн-аппроксимацией, и результаты численного моделирования динамики ППС на основе детализированных данных по возрастной структуре. Из графика видно, что наблюдается хорошая корелляция между интегральными данными по ППС, полученными в результате суммирования (НС + КН + ДН) моделью (11) и по результатам прямого моделирования моделью (1).

 

 

Рис 5. Интегральные графики изменения возрастной структуры для моделей НС, КН, ДН и реального ППС

 

 

Выводы

Проанализированы возможности восстановления детализированной возрастной структуры ППС из сжатых 10 годичных гистограмм (возрастных групп) с использованием различных декомпозиционных подходов.

Формализована математическая модель для расчета динамики изменения возрастной структуры ППС.

Проведены расчеты изменения возрастной структуры ППС с использованием детализированной возрастной структуры ППС с различными условиями аппроксимации возрастных групп и различной структуры математических моделей, описывающих движение ППС.

 

Список литературы

 

1.    Капица С. П. Синергетика и прогнозы будущего / С. П. Капица,
С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий. Изд. 3-е. М.: Едиторная УРСС, 2003. 288 с.

2.    Гуртов В. А. Разработка математической модели изменения возрастной структуры профессорско-преподавательского состава вуза / В. А. Гуртов,
Е. А. Питухин, И. В. Пение // Обозрение прикладной и промышленной математики. М., 2004. Т. 11, Вып. 3, С. 631-632.

3.    Васильев В. Н. Развитие электронных информационно- аналитических ресурсов для мониторинга, анализа и прогнозирования развития системы образования в субъектах Российской Федерации до 2015 года / В. Н. Васильев, В. А. Гуртов, Е. А. Питухин, И. В. Пение, М. В. Суровов // Образовательная среда: сегодня и завтра: Материалы Всероссийской научно-практической конференции (Москва, ВВЦ, 29.09 – 02.10.2004), С. 31-33.

4.    Pitukhin E. A. SIMULATION DEVELOPING AND FORECASTS ON THE TURN OVER OF A TEACHING STUFF IN HIGH EDUCATIONAL INSTITUTIONS / Mathematical modelling of social and economical dynamics (MMSED-2004): Proceedings of the International Conference. June 23-25, 2004 /
E. A. Pitukhin, V. A. Gurtov,
I. V. Pennie. Moscow, Russia. Р. 263-266.

5.    Гуртов В. А. Математическая модель процесса движения профессорско-преподавательского состава внутри вуза // Наука и образование – 2004: Материалы международной научно-технической конференции / В. А. Гуртов, Е. А. Питухин, И. В. Пение. Мурманск: МГТУ, 2004. Ч. 1. С. 278-282.

6.    Ковалева Н. В. Кадры высшей научной квалификации: пополнение последних лет / Н. В. Ковалева, В. Л. Мамаев, Е. Г. Нечаева. М.: Центр исследований и статистики науки, 1997.

7.    Гохберг Л. М. Квалифицированные кадры в России / Л. М. Гохберг,
Н. В. Ковалева, Л. Э. Миндели, Е. Ф. Некипелова. М.: Центр исследований и статистики науки, 1999.

8.    Рыжиков Ю. И. Имитационное моделирование. Теория и технологии / Ю. И. Рыжиков. СПб.: КОРОНА принт; М.: Альтекс-А, 2004.