МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКОВ ВЫПУСКНИКОВ ШКОЛ
ПО РЕГИОНАМ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
В. А. Гуртов, Е. А. Питухин
Петрозаводский государственный университет
vgurt@mainpgu.karelia.ru; pitukhin@mainpgu.karelia.ru
Тенденция к убыванию в ближайшем будущем численности
выпускников средних школ Российской Федерации обсуждалась достаточно часто. В
первую очередь, данная проблема связана с резким спадом рождаемости в период с
1987 по 1992 год и последующей стабилизацией на этом низком уровне; во вторую –
с послевоенными колебаниями числа поколений [1-4].
Подобные спады отсутствуют в других странах мира,
следовательно, опыт стратегического планирования в данной ситуации
позаимствовать невозможно.
Возникает непростая задача нахождения приемлемого
решения распределения учащейся молодежи по сферам образования [5]. В случае
положительного решения этой проблемы, создания и воплощения соответствующего подхода
для руководителей федерального и регионального уровней появится возможность
принимать оправданные и обоснованные управленческие решения в образовательной
сфере.
Формализация математической модели потоков выпускников школ
Для этого предлагается взглянуть на социальную
проблему перераспределения потоков выпускников школ в образовательные
учреждения (ОУ) начального, среднего и высшего образования с позиций систем
управления [6]. Предлагаются методика формализации процессов; построение ряда
уточняющих математических моделей; проведение анализа и имитационного моделирования;
проведение синтеза управляющих воздействий и выработка управленческих решений
[7].
Проблема анализа распределения потоков выпускников 9
и 10 классов школ и других лиц со средним образованием для поступления в ОУ
предполагает формирование баз данных на основе региональной образовательной статистики
и анализа формализованных моделей системы образования; составление адекватной
математической модели распределения потоков выпускников на примере одного
субъекта Федерации; поиск методов решения математической модели и уточнение
параметров модели на этой основе; анализ результатов для последующей стадии
исследований.
Постановка задачи синтеза включает в себя попытку
найти оптимальное управление или оптимальные траектории потоков в распределении
выпускников 9 и 11 классов школ по профессиональным образовательным учреждениям
разных уровней так, чтобы при этом достигались экстремальные значения целевых
функций и выполнялись областные и функциональные ограничения модели на
траектории и управление.
На первом этапе исследования (анализ и синтез) проходят в детерминированной области и решения даются там же. Данный этап является начальным, он показывает общую первичную картину распределения потоков учащихся по регионам России. По мнению авторов, основным и наиболее важным (вторым) этапом будет являться исследование на базе разработанной модели уже в стохастической постановке. Анализ и синтез такой системы со случайными параметрами и воздействиями даст возможность более достоверно оценить возможности управления интегральной системой распределения потоков выпускников 9 и 11 классов по приему в образовательные учреждения Российской Федерации.
Локальная динамическая модель распределения потоков выпускников
Первичная модель является статической (не зависящей от времени) и состоит из ряда усложняющихся моделей, записанных в виде систем линейных алгебраических уравнений. Коэффициенты модели являются также стационарными. Ряд начинается с базовой модели, учитывающей распределение потоков выпускников 9 и 11 классов текущего (года) выпуска только внутри одного субъекта Федерации по образовательным учреждениям начального (НПО), среднего (СПО) и высшего профессионального образования (ВПО). Далее следует базовая модель с дополнительным включением в число абитуриентов выпускников школ прежних лет (т.е. граждан, имеющих среднее образование). Отсюда вытекает базовая модель с дополнительным включением в число абитуриентов выпускников школ (выпуск текущего года) соседних субъектов Федерации. Ниже следует базовая модель с дополнительным включением в число абитуриентов выпускников ОУ НПО и СПО. Затем идет базовая модель с дополнительным включением в число абитуриентов выпускников образовательных учреждений среднего и высшего профессионального образования для получения высшего образования по другой специальности. На этой основе создается общая базовая модель с учетом всех предыдущих дополнений. Затем следует создание модели второго уровня – с учетом миграции выпускников школ текущего года в федеральные образовательные мегаполисы (г. Москва и Санкт-Петербург). Далее в этой модели учитывается дополнительная миграция выпускников школ текущего года в соседние субъекты Федерации (СФ). И в заключительном виде представлена интегральная статическая модель – на основе общей базовой модели с дополнительным учетом миграции в мегаполисы (Москва и Санкт-Петербург) и соседние регионы [8].
Вторичной моделью является динамическая, зависящая от времени модель, которая с высокой степенью адекватности показывает процессы приема в ОУ всех субъектов РФ с планированием до 2012 года. Эта модель основывается на предыдущей интегральной статической модели и сохраняет ее основную структуру. Проведем разделение параметров интегральной модели с позиции теории системы управления. Параметры системы распределения потоков – это весовые (пропорциональные) коэффициенты; управляющие параметры (внешние воздействия) – это Выпуск из 9 классов (зависит в данной модели от рождаемости и более ни от чего на данном этапе) и Выпуск из 11 классов (может также быть самостоятельным потоком, либо также зависеть от рождаемости). Управляемые параметры: это Прием в различные ОУ. Выделим Цель управления (это один параметр или функция от нескольких управляемых параметров) – манипуляции потоками приемов в ОУ согласно некоторой программе или плану.
Из анализа модели станет очевидно, что попытка повлиять на прием в ОУ НПО, СПО и ВПО в дальнейшем станет возможна через: 1. Изменение Выпуска 9 и 11 классов (по сути, влияние на рождаемость, что слабо вероятно); 2. Изменение параметров передаточных функций (ПФ) в виде весовых коэффициентов, желаемые значения которых могут устанавливаться исходя из числа желаемого Приема в ОУ НПО, СПО и ВПО.
Получаем следующие характеристики формализованной модели: Классификация модели по времени выбирается динамическая. Классификация по характеру протекания дискретная – с частотой дискретизации, равной частоте протекания процесса приема – один год. Классификация по характеру процесса: детерминированная на первом этапе и стохастическая в окончательном варианте расчетов. Степень сложности: линейная. Структура системы управления – разомкнутая, управление – программное.
Следовательно, предпочтительным выбором модели является линейная система конечно-разностных уравнений с дискретизацией по времени моментов измерений – по годам, общего вида. Данный выбор обуславливается еще и тем, что в теории управления известны и развиваются методы анализа и синтеза систем, заданных подобным образом [9]. Таким образом, существует возможность провести анализ и оценку перспективы развития ситуации с приемами в ОУ при политике невмешательства в ситуацию. Также есть возможность провести синтез, т.е. попытку определения наилучшего или оптимального с точки зрения минимума потерь (например, при приемах в ОУ ВПО) алгоритма управления моделью распределения потоков выпускников и ситуацией поступления в ОУ при выполнении ограничений (например, сохранении приемов в НПО без изменений).
Среди широкого спектра средств разработок
имеется возможность выбора математических моделей начиная от языков программирования
(C, Pascal, Visual Basic, Delphi, Fortran, Ada, Java) и заканчивая известными
математическими пакетами (MatLab, Maple, MathCAD, Mathematica). Выбор
разработчика систем управления обязательно останавливается на системе MatLab,
специально разработанной для этих целей и имеющей ряд средств визуализации
(Simulink). В то же время необходимо отметить также, что пакет MathCAD обладает
хорошим набором функций для работы с переменными диапазона для задания функций
и решения систем конечно-разностных уравнений в векторной форме. При
детерминистической постановке задачи (приемлемое время счета) были выбраны два
пакета: MatLab и MathCAD. Пример представления такой модели, выполненный в
приложении MatLab – Simulink, показан на рисунке 1.
Рис. 1. Фрагмент
структурной блок-схемы локальной модели,
описывающий ОУ НПО
Интегральная динамическая модель распределения потоков выпускников для всех субъектов Российской Федерации. Дальнейшие исследования были перенесены в среду MathCAD в силу увеличения размерности в 80 раз (в число 89 субъектов Федерации за исключением 9 автономных округов, статистическая информация о которых неполна и не может быть подвергнута обработке по данной методике), поскольку такое расширенное графическое представление в Simulink неоправданно.
Рис. 2. Система уравнений интегральной модели динамики потоков выпускников (фрагмент программы на языке MathCAD)
Для нахождения параметров модели были использованы выборки из базы данных с привлечением дополнительной статистической информации по региональным образовательным системам.
Для модернизированной математической модели в среде MathCAD проведено оптимизационное моделирование для модельного (Республика Карелия) региона и отработана методика определения коэффициентов модели для синтеза оптимального управления с учетом ограничений. В рамках интегрально-математической модели распределения потока выпускников на территории всех основных 80 субъектов РФ проведены:
ввод, проверка, редактирование и анализ исходных данных с использованием возможности информационно-справочной системы “Образование в регионах России”;
корректировка и выбор параметров модели, адекватных действительности;
определение “проблемных” регионов с выбросами значений параметров за допустимые границы;
анализ и графическая интерпретация результатов расчета интегральной модели при введении связи между субъектами Федерации и образовательными мегаполисами (Москва и Санкт-Петербург).
Рассмотрим более
подробно процесс идентификации и корректировки общих параметров интегральной модели,
адекватных реальной действительности, система уравнений которой в
виде фрагмента программы показана на рисунке 2.
Рассмотрим подход к определению коэффициентов модели для всех СФ. При этом бы будем базироваться на фрагментах одной из последних версий файла *.mcd, в котором реализована система загрузки, обработки и расчета параметров интегральной модели, обработки ошибок, а также и собственно решения.
Номер региона m менялся от 1 до 80 и был выбран по градации республика/область/край/город федерального подчинения и внутри этого списка менялся по возрастанию, а индекс i обозначал время и менялся по годам. Приведенные ниже фрагменты MathCAD-документа без расшифровки имен переменных и индексов служат для отражения алгоритма и последовательности исполнения методики расчета.
Рассмотрим фрагмент загрузки
небольшой части из 80 файлов, которые присваиваются в переменную-вектор 
, каждый элемент которого является матрицей данных по
региону:
Далее идет фрагмент загрузки данных из 6 файлов Прием/Выпуск:
С помощью скользящего среднего определим коэффициенты зависимости управляющих воздействий потоков 9 и 11-классников от вектора рождаемости:
Найдем несколькими способами коэффициенты ПФ для вузов, средних специальных учебных заведений (ССУЗов) и ПТУ регионов:
Коэффициенты, определенные с
помощью первого подхода (ненулевого среднего), обозначены подчеркиванием 
. Такой метод не всегда дает приемлемый результат, и
случается, что адекватный действительности Выпуск далек от расчетного. Вторым
подходом найдем оптимальные значения коэффициентов, полученные методом
наименьших квадратов, и коэффициенты обозначим подчеркиванием 
. Но второй подход также не всегда будет лучше моделировать
зависимость процесса Выпуска от Приема. Так, были использованы несколько оценок
достоверности (например, корреляционный коэффициент Пирсона, областные
ограничения), и сформулировано правило выбора лучшего значения (фрагмент):
Необходимо также учесть тезис об оттоке учащихся 11 классов в мегаполисы для поступления в престижные вузы:
,
и часть остающихся дома в регионе выпускников сократится.
Большая часть расчетов отведена для определения параметров, моделирующих процесс приема в ПОУ. Покажем этот подход на примере фрагмента расчета одного коэффициента в структуре модели ССУЗов:
Коэффициент 
определяет долю выпускников
11 класса, поступающих в ССУЗы. Для уточнения его значения используется два значения
за 2000 и 2001 гг., дается общая оценка достоверности определения вектора из 80
таких параметров целиком с помощью коэффициента корреляции. Избегается
возможность деления на 0, учитываются областные ограничения.
Такой расчет проводится для каждого коэффициента каждой части структуры: ОУ ВПО, ОУ СПО и ОУ НПО. На рисунке 3. в качестве примера приведены значения параметров математической модели для одного из субъектов Федерации.
Рис. 3. Задание
значений параметров локальной математической модели на
примере Республики Карелия, m=10. (фрагмент программы на
языке MathCAD)
В результате анализа по модельному региону были получены следующие результаты, которые представлены на рисунке 4 (а, б). На рисунке 4а изображены траектории Приемов, на рисунке 4б – Выпусков. На обоих рисунках сплошной линией (1) показаны ОУ ВПО, пунктиром (2) – ОУ СПО, штрихом (3) – ОУ НПО.
а) б)
Рис. 4. Графики Приемов (а) и Выпусков (б)
в ОУ Республики Карелия
Данные результаты прогнозируют, что будет происходить с потоками Приемов и Выпусков до 2012 г. при занятии наблюдательной позиции.
На уровне локальной модели была решена задача синтеза оптимальных траекторий Приемов. Один из приемлемых результатов синтеза закона изменения коэффициентов ПФ и оптимальных траекторий потоков 11-классников с учетом ограничений показан на рисунке 5. В этом случае рассматривалась попытка повлиять на доли распределения выпускников 11 классов школ в ОУ ВПО, СПО и НПО.
а) б)
Рис. 5. Оптимальное
программное управление (а) и
оптимальные траектории Приемов в ОУ Республики Карелия (б).
Как видно из рисунка 5а, коэффициенты, отражающие доли поступления 11-классников в ОУ, стали нестационарными после 2005 года. Но общая их сумма, как видно из верхней контрольной штрих-пунктирной линии (4), остается неизменной. Штриховая прямая (3) говорит о том, что коэффициент оттока в ОУ НПО остается постоянным – это соблюдение ограничения на не влияние на прием в ОУ НПО. Коэффициент оттока в ОУ ВПО растет – сплошная линия (1), а коэффициент оттока в ОУ СПО снижается – пунктир (2).
Обозначим звездочкой (*) номера кривых, отражающих результаты оптимизации. Как видно из графика на рисунке 5б, ряд налагаемых ограничений не позволяет стабилизировать Прием в ОУ ВПО на уровне 2003-2005 гг. – прямая (4). Он неуклонно стремится вниз (сплошная линия 1*), хотя и не так сильно, как было бы при невмешательстве – штрихпунктир (1). Прием в ОУ СПО, наоборот, падает (кривая 2*) по сравнению с неоптимальным процессом (2). Кривые, показывающие Прием в ОУ НПО, как и планировалось, совпадают (3 и 3*).
Подобные целевые функции, граничные условия и параметры оптимизации являются сугубо предварительными и могут изменяться по желанию квалифицированных пользователей данной методики.
Локальная модель легко расширяется от 1 региона до 80 и превращается в интегральную модель. Полученные результаты по моделированию распределения выпускников 9 и 11 классов по приему в образовательные учреждения НПО, СПО, ВПО на период от 2003 до 2012 гг. представлены в виде трехмерных столбцовых диаграмм по 80 регионам России (рис. 6). Отдельно приводятся данные по десяти “проблемным” регионам, то есть таким, в которых алгоритмизированный выбор параметров, который сопровождает построение информационных матриц, выходит за граничные поля значений. Среди этих регионов оказались такие, как Чеченская Республика, Республика Адыгея, Республика Ингушетия, Ставропольская область, Еврейский автономный округ и др.
Один из главных выводов по результатам оптимизационного моделирования состоит в том, что в период с 2006 по 2012 г. при любых сценариях развития будет происходить значительное уменьшение приема в учреждения профессионального образования, а желание сохранить прием на нынешнем уровне высшего и невмешательство в прием начального профессионального образования приводит к существенному уменьшению приема в учреждения среднего профессионального образования.
При исследовании интегральной модели возрастает время счета и увеличиваются число параметров и ее размерность. Так, если для одного региона общее число параметров системы (коэффициентов модели – 28, начальных условий – 14, задающих воздействий – вектор из 19 элементов) приблизительно равно 60, то для 80 СФ – 4800. Тогда размерность системы линейных алгебраических уравнений, в которую для удобства переводятся конечно-разностные, вырастает до 3126. В этом случае необходимо обработать около миллиона коэффициентов. Анализировать, проводить имитационное моделирование для такой модели на современном компьютере еще возможно, но решать задачи синтеза и оптимизации крайне затруднительно. Поэтому было решено перенести модель со среды проектирования MathCAD, которая исчерпала свои возможности по быстродействию, способности работы с матрицами и виртуальной памятью, в систему Delphi 5.0., которая поддерживает язык Turbo Pascal.
При расчетах на составленной оригинальной программе, фрагмент которой представлен на рисунке 7, свободной оперативной памяти для задачи требуется всего около 100 Mb.
Рис. 7. Фрагмент
программы
«Моделирование образовательных потоков 2002-2012»
Дальнейшее развитие блока оптимизационного моделирования видится в следующих этапах: переход от моделирования в среде MathCAD к моделированию с использованием программ на языке высокого уровня Delphi с системой БД; моделирование потока выпускников 9 и 11 классов по всем 80 субъектам Федерации с заданием многофакторных оптимизационных условий и проведением многокритериальной оптимизации; переход от детерминированной модели к стохастической с учетом флуктуаций параметров и проведение имитационного моделирования; проведение стохастической оптимизации и выработка рекомендаций по управлению ситуацией.
Выводы. Выполнена разработка системы мониторинга, анализа и прогнозирования развития образования и образовательных структур в Российской Федерации, проведена систематизация информационных ресурсов по всем 80 субъектам Российской Федерации в области образования. В качестве параметров выбраны наиболее значимые показатели: структура управления образовательными учреждениями, количество и тип образовательных учреждений, контингент студентов и учащихся, структура педагогических кадров и бюджетное финансирование системы образования.
На базе разработанной системы проведены сбор, обработка, проверка и анализ статистических данных из федеральных и ведомственных справочников по 80 СФ в области образования. На основе этих данных была формализована интегральная математическая модель системы распределения образовательных потоков учащихся по ОУ НПО, СПО и ВПО всех регионов Российской Федерации. Была проведена параметрическая идентификация и оценка коэффициентов передаточных функций локальных математических моделей СФ.
Получены результаты моделирования потоков Приемов и Выпусков на всей территории РФ с учетом оттока учащейся молодежи в образовательные мегаполисы (Москва и Санкт-Петербург).
Получены оптимальные законы управления для локальных моделей в виде нестационарных коэффициентов передаточных функций перераспределения потоков 11-классников по типам ОУ и, соответственно, оптимальные траектории Приемов в ОУ с учетом предложенных ограничений.
Планируется переход от детерминированной к стохастической модели, проведение многокритериальной стохастической оптимизации для повышения адекватности прогнозируемых результатов. С этой целью начата разработка законченного программного продукта на языке Delphi с интуитивно понятным интерфейсом для проведения моделирования, исследовательских работ и использования в качестве советчика лица, принимающего управленческое решение.
Источники информации
1. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года/ Распоряжение Правительства Российской Федерации от 28.01.2002 г. № 1756-р; Приказ Минобразования России от 23.07.2002 г. № 2866.
2. Регионы России: Стат. сб.: В 2 т./ Госкомстат России. М., 2001. Т.1, 2.
3. Высшее и среднее профессиональное образование в Российской Федерации: Стат. сб. / НИИВО. Центр образовательной статистики. М., 1999. 100 с.; М., 2000. 101 с.
4. Об основных направлениях деятельности российской системы общего и профессионального образования в связи с демографическими изменениями на период до 2010 года / Минобразование России. М., 2000.
5. Савельев А. Я., Зуев В. Н., Галагин А. И., Джалалов С. Прогнозирование развития и мониторинг состояния высшего и среднего профессионального образования (теория, методология, практика) / Под редакцией А.Я. Савельева М.: НИИВО, 1999.
6. Васильев В. Н. Модели управления вузом на основе информационных технологий. / Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2000.
7. Питухин Е. А. Оптимальное проектирование систем управления с параметрической неопределенностью // Труды конференции TOOLMET`97 / Под редакцией Лаборатории инжиниринга. Изд-во Университета Оулу, Финляндия, 1997.
8. Васильев В. Н., Гуртов В.А., Сазонов Б.А., Суровов М.В. Система мониторинга, анализа и прогнозирования развития образования и образовательных структур в регионах России / Индустрия образования: Сб. ст. Вып. 5. М., 2002.
9. Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамических систем. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 1996.